تحضير شامل لتوجيهي 2024: 30 سؤالاً وإجابة في الرياضيات للفرع العلمي

مقدمة

تعتبر مرحلة التوجيهي من أهم المراحل الدراسية في حياة الطالب، حيث تحدد مستقبله الأكاديمي والمهني. ومن بين المواد الأساسية التي تشكل تحدياً كبيراً للطلاب هي مادة الرياضيات، خاصة للفرع العلمي. في هذا المقال، سنقدم لكم تحضيراً شاملاً لتوجيهي 2024 من خلال 30 سؤالاً وإجابة في الرياضيات للفرع العلمي، مما سيساعد الطلاب على الاستعداد الجيد للامتحانات.

أهمية التحضير الجيد

التحضير الجيد لمادة الرياضيات يتطلب فهماً عميقاً للمفاهيم الأساسية وتطبيقها على مسائل متنوعة. من خلال حل الأسئلة المتنوعة، يمكن للطلاب تحسين مهاراتهم وزيادة ثقتهم بأنفسهم.

30 سؤالاً وإجابة في الرياضيات للفرع العلمي

السؤال 1:

ما هو حل المعادلة التربيعية (x^2 – 5x + 6 = 0)؟

الإجابة:
لحل المعادلة التربيعية، نستخدم طريقة التحليل:
[ x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0 ]
إذن، الحل هو:
[ x = 2 \text{ أو } x = 3 ]

السؤال 2:

احسب قيمة المشتقة الأولى للدالة (f(x) = 3x^3 – 4x^2 + 2x – 1).

الإجابة:
[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 – 4x^2 + 2x – 1) = 9x^2 – 8x + 2 ]

السؤال 3:

ما هو تكامل الدالة (f(x) = 2x)؟

الإجابة:
[ \int 2x \, dx = x^2 + C ]
حيث (C) هو ثابت التكامل.

السؤال 4:

إذا كانت ( \sin \theta = \frac{3}{5} )، فما هو ( \cos \theta )؟

الإجابة:
نستخدم العلاقة الأساسية في حساب المثلثات:
[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ]
[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 ]
[ \frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1 ]
[ \cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ]
[ \cos \theta = \pm \frac{4}{5} ]

السؤال 5:

ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية ( \log_2 (x – 1) = 3 )؟

الإجابة:
[ \log_2 (x – 1) = 3 ]
[ x – 1 = 2^3 ]
[ x – 1 = 8 ]
[ x = 9 ]

السؤال 6:

احسب قيمة المحدد ( \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{vmatrix} ).

الإجابة:
[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2 ]

السؤال 7:

ما هو حل النظام الخطي التالي باستخدام طريقة الحذف؟
[ \begin{cases}
2x + 3y = 5 \
4x – y = 1
\end{cases} ]

الإجابة:
نضرب المعادلة الثانية في 3:
[ 12x – 3y = 3 ]
نجمع المعادلتين:
[ (2x + 3y) + (12x – 3y) = 5 + 3 ]
[ 14x = 8 ]
[ x = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} ]
نعود إلى المعادلة الأولى:
[ 2\left(\frac{4}{7}\right) + 3y = 5 ]
[ \frac{8}{7} + 3y = 5 ]
[ 3y = 5 – \frac{8}{7} = \frac{35}{7} – \frac{8}{7} = \frac{27}{7} ]
[ y = \frac{27}{21} = \frac{9}{7} ]

السؤال 8:

ما هو حل المعادلة الأسية ( e^{2x} = 7 )؟

الإجابة:
نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:
[ \ln(e^{2x}) = \ln(7) ]
[ 2x = \ln(7) ]
[ x = \frac{\ln(7)}{2} ]

السؤال 9:

احسب قيمة المشتقة الثانية للدالة ( f(x) = x^4 – 3x^3 + 2x^2 – x + 1 ).

الإجابة:
[ f'(x) = 4x^3 – 9x^2 + 4x – 1 ]
[ f”(x) = 12x^2 – 18x + 4 ]

السؤال 10:

ما هو تكامل الدالة ( f(x) = \frac{1}{x} )؟

الإجابة:
[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C ]

السؤال 11:

إذا كانت ( \tan \theta = 2 )، فما هو ( \sin \theta ) و ( \cos \theta )؟

الإجابة:
نستخدم العلاقة:
[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ]
[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ]
نفرض أن ( \cos \theta = x ) و ( \sin \theta = 2x ):
[ (2x)^2 + x^2 = 1 ]
[ 4x^2 + x^2 = 1 ]
[ 5x^2 = 1 ]
[ x^2 = \frac{1}{5} ]
[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} ]
إذن:
[ \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} ]
[ \sin \theta = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} ]

السؤال 12:

ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية ( \log_{10} (x^2 – 1) = 2 )؟

الإجابة:
[ \log_{10} (x^2 – 1) = 2 ]
[ x^2 – 1 = 10^2 ]
[ x^2 – 1 = 100 ]
[ x^2 = 101 ]
[ x = \pm \sqrt{101} ]

السؤال 13:

احسب قيمة المحدد ( \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \ 1 & 0 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} ).

الإجابة:
نستخدم طريقة التوسع على الصف الأول:
[ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \ 1 & 0 & 4 \ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 2 & 1 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 1 & 4 \ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 3 & 2 \end{vmatrix} ]
[ = 2(0 \cdot 1 – 4 \cdot 2) – 3(1 \cdot 1 – 4 \cdot 3) + 1(1 \cdot 2 – 0 \cdot 3) ]
[ = 2(0 – 8) – 3(1 – 12) + 1(2 – 0) ]
[ = 2(-8) – 3(-11) + 2 ]
[ = -16 + 33 + 2 ]
[ = 19 ]

السؤال 14:

ما هو حل النظام الخطي التالي باستخدام طريقة المصفوفات؟
[ \begin{cases}
x + 2y = 3 \
3x – y = 2
\end{cases} ]

الإجابة:
نكتب النظام على شكل مصفوفة:
[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix} ]
نحسب معكوس المصفوفة:
[ \text{det} = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3 = -1 – 6 = -7 ]
[ \text{inverse} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -1 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} ]
نضرب المعكوس في المصفوفة اليمنى:
[ \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \ \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} \cdot 3 + \frac{2}{7} \cdot 2 \ \frac{3}{7} \cdot 3 – \frac{1}{7} \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7} + \frac{4}{7} \ \frac{9}{7} – \frac{2}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} ]
إذن، الحل هو:
[ x = 1 ]
[ y = 1 ]

السؤال 15:

ما هو حل المعادلة الأسية ( 3^{2x} = 81 )؟

الإجابة:
نكتب 81 كقوة للعدد 3:
[ 3^{2x} = 3^4 ]
[ 2x = 4 ]
[ x = 2 ]

السؤال 16:

احسب قيمة المشتقة الأولى للدالة ( f(x) = \ln(x^2 + 1) ).

الإجابة:
نستخدم قاعدة السلسلة:
[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} ]

السؤال 17:

ما هو تكامل الدالة ( f(x) = e^{3x} )؟

الإجابة:
[ \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C ]

السؤال 18:

إذا كانت ( \cos \theta = \frac{4}{5} )، فما هو ( \sin \theta )؟

الإجابة:
نستخدم العلاقة الأساسية في حساب المثلثات:
[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ]
[ \sin^2 \theta + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 ]
[ \sin^2 \theta + \frac{16}{25} = 1 ]
[ \sin^2 \theta = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ]
[ \sin \theta = \pm \frac{3}{5} ]

السؤال 19:

ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية ( \log_3 (x + 2) = 4 )؟

الإجابة:
[ \log_3 (x + 2) = 4 ]
[ x + 2 = 3^4 ]
[ x + 2 = 81 ]
[ x = 79 ]

السؤال 20:

احسب قيمة المحدد ( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} ).

الإجابة:
نستخدم طريقة التوسع على الصف الأول:
[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \ 8 & 9 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} 4 & 6 \ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \ 7 & 8 \end{vmatrix} ]
[ = 1(5 \cdot 9 – 6 \cdot 8) – 2(4 \cdot 9 – 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 – 5 \cdot 7) ]
[ = 1(45 – 48) – 2(36 – 42) + 3(32 – 35) ]
[ = 1(-3) – 2(-6) + 3(-3) ]
[ = -3 + 12 – 9 ]
[ = 0 ]

السؤال 21:

ما هو حل النظام الخطي التالي باستخدام طريقة كرامر؟
[ \begin{cases}
2x + 3y = 7 \
4x – y = 1
\end{cases} ]

الإجابة:
نحسب المحدد الرئيسي:
[ D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) – 3(4) = -2 – 12 = -14 ]
نحسب محدد (D_x):
[ D_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = 7(-1) – 3(1) = -7 – 3 = -10 ]
نحسب محدد (D_y):
[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \ 4 & 1 \end{vmatrix} = 2(1) – 7(4) = 2 – 28 = -26 ]
إذن:
[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-10}{-14} = \frac{5}{7} ]
[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7} ]

السؤال 22:

ما هو حل المعادلة الأسية ( 2^{3x} = 16 )؟

الإجابة:
نكتب 16 كقوة للعدد 2:
[ 2^{3x} = 2^4 ]
[ 3x = 4 ]
[ x = \frac{4}{3} ]

السؤال 23:

احسب قيمة المشتقة الثانية للدالة ( f(x) = \sin(x^2) ).

الإجابة:
نستخدم قاعدة السلسلة:
[ f'(x) = \frac{d}{dx} \sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) ]
نشتق مرة أخرى:
[ f”(x) = \frac{d}{dx} (2x \cos(x^2)) = 2 \cos(x^2) + 2x \cdot \frac{d}{dx} \cos(x^2) ]
[ = 2 \cos(x^2) + 2x \cdot (-\sin(x^2)) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) ]
[ = 2 \cos(x^2) – 2x \cdot \sin(x^2) \cdot 2x ]
[ = 2 \cos(x^2) – 4x^2 \sin(x^2) ]

السؤال 24:

ما هو تكامل الدالة ( f(x) = \cos(3x) )؟

الإجابة:
[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} \sin(3x) + C ]

السؤال 25:

إذا كانت ( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} )، فما هو ( \sin \theta ) و ( \cos \theta )؟

الإجابة:
نستخدم العلاقة:
[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ]
[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ]
نفرض أن ( \cos \theta = x ) و ( \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{3}} ):
[ \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 + x^2 = 1 ]
[ \frac{x^2}{3} +